原函数、不定积分、定积分从定义上看似不难理解，但是其中存在很多的难点和坑，大家都知晓吗？
1.原函数、不定积分、定积分的含义
工欲善其事，必先利其器。欲彻底掌握其中的难点，首先要清楚原函数、不定积分、定积分的含义，通俗点讲，原函数、不定积分、定积分的含义如下：
原函数：如果函数F(x)在定义域内可导，且导函数为f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数。
不定积分：若函数f(x)存在原函数，则f(x)所有原函数的集合称为不定积分。换句话说，不定积分表示函数f(x)所有的原函数。
定积分：描述的是在指定范围内，曲线、横轴与两条端点直线所围成图形的面积，见图1阴影部分。在横轴上，面积为正；在横轴下，面积为负。注意：本文不考虑反常积分。
2.什么情况下存在原函数？
给定函数F(x)，很容易就能判断出F(x)是否可导，如果可导，导函数f(x)亦不难求出。但是逆过程却不那么简单：即给定函数f(x)，如何判断f(x)存在原函数，若存在原函数，怎样求原函数。限于篇幅，小编在本文仅说明如何判断函数是否存在原函数。
2.1连续函数必存在原函数
这条原函数存在定理很好记，小编在下面给出证明，即为什么连续函数必存在原函数？小编由衷提醒：学习时，多问自己个为什么，并努力寻求答案，求知欲上去了，兴趣上去了，理想就近了一大步。
只需证明如下关系式，则可说明连续函数必存在原函数：
下面是详细的证明过程：
2.2若函数存在第一类间断点，必不存在原函数
若函数存在第一类间断点，只要假设x=a是其中一个第一类间断点，并令t=a，仿照2.1证明过程，不难得出函数F(x)在x=t点处左、右导数均存在但不相等，因此F(x)在x=t处不可导。所以，函数若存在第一类间断点，必不存在原函数。但是，若函数存在第二类间断点，是否存在原函数则需另行判断。
3.不定积分与原函数的关系
从前文关于不定积分和原函数的含义中可以看出，只要函数f(x)存在一个原函数，则函数f(x)的不定积分必存在，因此，一个函数不定积分是否存在可以直接用原函数存在定理直接进行判断。假设F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的全体原函数即不定积分表示如下：
从上可以看出，若函数f(x)存在原函数，则f(x)所有原函数两两间仅差一个常数。
4.定积分与不定积分的区别
虽然定积分、不定积分都有“积分”二字，看上去像姊妹，但是差别非常明显。讨论定积分时，有两个前提：一是闭区间，即[a,b]；二是被积函数有界。在满足这两个前提条件下，满足下面任意条件之一函数的定积分必存在：
· f(x)在[a,b]上是连续函数；
· f(x)在[a,b]上只有有限个间断点；
· f(x)在[a,b]上单调。
拿上述第二个条件来说，如果函数在闭区间上有界且只有有限个间断点（包括第二类间断点），定积分存在，但是对于不定积分来说，只要是存在第一类间断点，函数的不定积分必不存在。这是不定积分和定积分的一个重要区别。
对于条件三，证明不易，小编在这告诉大家一个抽象却很实用的记忆方法：首先一定要知道，定积分描述的是如图1中所示的阴影部分面积。那么当f(x)在[a,b]上单调时，可以预想到的是，随着x从点a逐渐移动到b的过程中，由f(x)、横轴、x=a、x=b围成的图形的面积S必然也是单调（要么递增，要么递减）且连续的，并且因为f(x)在[a,b]上有界，因此S必是有限值，不可能为无穷大——面积S的大小不可能超过区域宽度(b-a)与最大函数值的乘积。所以，当f(x)在[a,b]上单调时，定积分必存在。
河北研圣教育咨询有限公司热门课
1对1考研复习规划指导
热门课程
